quinta-feira, 23 de fevereiro de 2012

Nature by Numbers Movie

Animação que explica a Série de Fibonacci, muito interessante, assistam. Muito importante para alunos de Design, valendo para Foto, Audiovisual e Computação Gráfica!

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A proporção áurea, número de ouro, número áureo ou proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega ϕ (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de seção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .

Desde a Antiguidade, a proporção áurea é empregada na arte. É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi π), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção das conchas (o nautilus, por exemplo), dos seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo) e nas colméias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente. E justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

Cálculo do número ϕ

A razão áurea é definida algebricamente como:
 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.

A equação da direita mostra que a = bϕ, o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.

Multiplicando ambos os lados por ϕ, resulta:
ϕ + 1 = ϕ2.

Finalmente, subtraindo ϕ2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por − 1, encontramos:
ϕ2 − ϕ − 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0\,\!, em que \,\!a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!
\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}\,\!
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}\,\!
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\,\!
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\,033\,989\,, que é o número ϕ.
Ficheiro:Divisao-em-media-e-extrema-razao.jpg


Divisão em média e extrema razão. A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.
Definição algébrica

 
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